Sedan h\u00f6stterminen 2019 ing\u00e5r l\u00e4rare fr\u00e5n l\u00e4rarutbildningen vid Malm\u00f6 universitet och l\u00e4rare fr\u00e5n skolor i Helsingborg, Lomma, Svedala och Vellinge i ett ULF-n\u00e4tverk med s\u00e4rskilt fokus p\u00e5 matematikdidaktik och i synnerhet proportionella resonemang i matematik. Sedan 2021 medverkar \u00e4ven n\u00e5gra l\u00e4rare fr\u00e5n Lunds kommun.<\/p>\n\n\n\n
Detta blogg-inl\u00e4gg sammanfattar matematikn\u00e4tverkets arbete hittills med matematikdidaktiska teorier som kan passa f\u00f6r proportionalitet. Detta arbete har varit ett centralt omr\u00e5de de senaste m\u00e5naderna och har hj\u00e4lpt oss precisera n\u00e4tverkets fortsatta arbete. En klassisk definition av antikens Euklides \u00e4r att se proportionalitet som \u201den f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor\u201d inom en och samma enhet. T\u00e4nk dig nu f\u00f6ljande matematiska problem:<\/p>\n\n\n\n
En ostbit v\u00e4ger 450 g och kostar 36 kr. En annan ostbit v\u00e4ger 750 g och kostar 45 kr. Vilken har l\u00e4gst j\u00e4mf\u00f6rpris?<\/p>\n\n\n\n
Euklides skulle l\u00f6sa detta problem genom att resonera s\u00e5 h\u00e4r: \u201dMellan vikterna \u00e4r det en f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor 450 \u2044 740=0,6. D\u00e5 skulle den mindre osten kosta 45 \u2219 0,6=27 kr. Det betyder att om man av den st\u00f6rre osten k\u00f6per en lika stor viktm\u00e4ngd som den mindre osten, s\u00e5 skulle man beh\u00f6va betala mindre.\u201d Idag \u00e4r det vanligare att ist\u00e4llet ber\u00e4kna ett j\u00e4mf\u00f6rpris att j\u00e4mf\u00f6ra och l\u00f6sningen kan bli s\u00e5 h\u00e4r: \u201dDen mindre osten har j\u00e4mf\u00f6rpriset 36kr \u2044 0,450kg = 80 kr \u2044 kg och den st\u00f6rre osten har j\u00e4mf\u00f6rpriset 45kr \u2044 0,750kg = 60 kr \u2044 kg. Allts\u00e5 har den stora osten l\u00e4gre j\u00e4mf\u00f6rpris\u201d.<\/p>\n\n\n\n
Notera att Euklides f\u00f6r\u00e4ndringsfaktor \u00e4r en kvot av samma enheter, allts\u00e5 av samma typ som skala och procentsats, vilka saknar enhet. Det var faktiskt bara n\u00e5gra enstaka hundra \u00e5r sedan en helt annan syn p\u00e5 begreppet proportionalitet uppstod. Man kan dividera olika enheter med varandra och f\u00e5 en helt ny enhet. Exempelvis ger kvoten 36kr \u2044 0,450kg = 80 kr \u2044 kg och i grundskolans nya kursplan f\u00f6r matematik kallas detta \u201dh\u00e4rledda enheter\u201d. Detta ger oss i matematikn\u00e4tverket ett s\u00e4tt att kategorisera framst\u00e4llning av proportionalitet som Euklidisk eller icke-Euklidisk.<\/p>\n\n\n\n
\u00c4ven om denna kategorisering i Euklidisk\/icke-Euklidisk proportionalitet \u00e4r historiskt central i matematiken, s\u00e5 \u00e4r den lite f\u00f6r grov d\u00e5 v\u00e5ra kategorier av elevl\u00f6sningar blir f\u00f6r stora f\u00f6r att f\u00e5nga exempelvis varianter av olika elevl\u00f6sningar inom en och samma kategori. En som \u00e5tg\u00e4rdade detta \u00e4mnesdidaktiska behov var Vergnaud, som skapade en ganska utf\u00f6rlig kategorisering f\u00f6r olika s\u00e4tt att r\u00e4kna ut proportionalitetsproblem. Ett mycket stort antal forskningsartiklar har l\u00e5tit sig inspireras av Vergnaud n\u00e4r de analyserar elevers arbete och l\u00e4rares undervisning om proportionalitet. Vergnauds kategorier utformades f\u00f6r proportionalitets\u00f6vningar av typen \u201defterfr\u00e5gat v\u00e4rde\u201d. Ett exempel \u00e4r \u201d450 g av en sorts ost kostar 36 kr. Vad kostar 550 g av samma ost?\u201d.<\/p>\n\n\n\n
I v\u00e5rt n\u00e4tverk vill vi \u00e4ven studera j\u00e4mf\u00f6rpriser och d\u00e5 vill man ha v\u00e4rdet 1 i n\u00e4mnaren, exempelvis 1 kg vid j\u00e4mf\u00f6rpris och 1h vid enheten km\/h. F\u00f6r denna typ av matematiska proportionaliteter blir det ofta sv\u00e5rt att avg\u00f6ra i vilken av Vergnauds kategorier som elevl\u00f6sningen platsar b\u00e4st. I matematikn\u00e4tverket har vi d\u00e4rf\u00f6r b\u00f6rjat utforska Chevallards praxeologi som f\u00f6r v\u00e5rt n\u00e4tverk \u00f6ppnar tv\u00e5 m\u00f6jligheter. En m\u00f6jlighet \u00e4r en st\u00f6rre frihet att skapa kategorier f\u00f6r elevers olika strategier vid probleml\u00f6sning. Detta ger m\u00f6jligheten att formulera l\u00e4mpliga kategorier men samtidigt beh\u00f6ver det inte per automatik vara en f\u00f6rdel eftersom denna flora kan bli vildvuxen. En annan och intressant m\u00f6jlighet \u00e4r att praxeologin ger st\u00f6d i att utv\u00e4rdera om och vilken sorts motivering eleven ger till sin l\u00f6sning, exempelvis om det endast finns ett svar eller \u00e4ven en utr\u00e4kning och ifall utr\u00e4kningen dessutom \u00e4r tydligt motiverad och p\u00e5 vilka olika s\u00e4tt den motiveras. <\/p>\n\n\n\n
V\u00e5ra f\u00f6rsta trevande f\u00f6rs\u00f6k att anv\u00e4nda Chevallards praxeologi har visat sig fungera genom att ge oss nya intressanta infallsvinklar p\u00e5 elevers och v\u00e5rt eget (l\u00e4rares) matematiska arbete. Vi f\u00e5r just nu n\u00f6ja oss med att konstatera att forskning p\u00e5g\u00e5r och att vi \u00e5terkommer n\u00e4r vi vet mer. Kanske redan p\u00e5 v\u00e5rt f\u00f6redrag p\u00e5 matematikbiennalen 31 mars \u2013 1 april i \u00e5r.<\/p>\n\n\n\n
\/ULF-n\u00e4tverket vid Malm\u00f6 universitet om proportionalitet i matematiken \u2013 genom n\u00e4tverksledare J\u00f6ran Petersson.<\/p>\n\n\n\n
Chevallard, Y. (2007). Readjusting didactics to a changing epistemology. European Educational Research Journal, 6<\/em>(2), 131-134. https:\/\/doi.org\/10.2304\/eerj.2007.6.2.131<\/a><\/p>\n\n\n\n Euclide, & Heath, T.L. (1956). The thirteen books of Euclid’s Elements<\/em>. (2nd Ed., rev. with additions). Dover.<\/p>\n\n\n\n Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh and M. Landau (eds.), Acquisition of Mathematical Concepts and Processes<\/em> (pp. 127\u2013174). Academic Press.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Sedan h\u00f6stterminen 2019 ing\u00e5r l\u00e4rare fr\u00e5n l\u00e4rarutbildningen vid Malm\u00f6 universitet och l\u00e4rare fr\u00e5n skolor i Helsingborg, Lomma, Svedala och Vellinge i ett ULF-n\u00e4tverk med s\u00e4rskilt fokus p\u00e5 matematikdidaktik och i synnerhet proportionella resonemang i matematik. Sedan 2021 medverkar \u00e4ven n\u00e5gra l\u00e4rare fr\u00e5n Lunds kommun. Detta blogg-inl\u00e4gg sammanfattar matematikn\u00e4tverkets arbete hittills med matematikdidaktiska teorier som kan … <\/p>\n