Kategori: ULF-nätverket Proportionella reseonemang i matematik

Denna gång är det Monica och Annika som beskriver hur de har arbetat med sina elever. Artikeln blir öppet tillgänglig ungefär 2 år efter publikation, men här är en kort sammanfattning. Det är faktiskt två intressanta resultat.

Det ena är förstås att eleverna lär sig resonera om proportionella samband. De gör det genom att systematiskt låta eleverna få resonera med proportionalitetsproblem och sedan diskutera olika strategier i helklass.

Det andra är hur de låter eleverna dokumentera sitt arbete. Här lottas eleverna ihop parvis och får sedan en begränsad tid på sig för att spela in en film där de löser eller åtminstone försöker lösa problemet. Filmen skickar eleverna till läraren. Filmen spelas in med skärmen vinklad så att endast pappret och elevernas skrivande syns. Det betyder att elevernas röster finns med men inte deras ansikten.

Delorme, M. & Schoug, A. (2023). Få syn på resonemangen. Nämnaren, 49(3), 22–28.

/Jöran Petersson. Nätverksledare för ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken.

ULF-projektet om proportionalitet i skolmatematiken har nu pågått hösten 2021 till våren 2023. Deltagarna bestämde som eget mål att själva författa artiklar till i första hand Nämnaren då denna har stor spridning bland matematiklärare i alla årskurser. Det är inte utan stolthet vi presenterar följande resultat:

Langeveld, E., & Rosenberg, A. (2023). Att tolka derivator med hjälp av enheter. Nämnaren, 49(2), 47–53.

Lindeheim, C., & Nilsund, A.-B. (2023). En vanlig uppgift i ett ovanligt sammanhang. Nämnaren, 49(2), 35–39.

Rosell, C., & Strand, K. (2023). Hur kan man inte se det? Nämnaren, 49(2), 41–46.

Artiklarna är nu publicerade i Nämnaren 2/2023 och blir öppet tillgängliga ungefär 2 år efter publikation, men redan nu finns en kort sammanfattning under DIVA-länkarna ovan. Även om detta ULF-projekt formellt sett är slut nu, så räknar vi med lite efterdyningar i form av ytterligare publikationer närmsta tiden i Nämnaren, Matematikbiennalen 2024 och någon forskningspublikation. Detta berättar vi dock mer om i ett senare blogg-inlägg.

/Jöran Petersson. Nätverksledare för ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken.

Sedan höstterminen 2019 ingår lärare från lärarutbildningen vid Malmö universitet och lärare från skolor i Helsingborg, Lomma, Svedala och Vellinge i ett ULF-nätverk med särskilt fokus på matematikdidaktik och i synnerhet proportionella resonemang i matematik. Sedan 2021 medverkar även några lärare från Lunds kommun.

Detta blogg-inlägg sammanfattar matematiknätverkets arbete hittills med matematikdidaktiska teorier som kan passa för proportionalitet. Detta arbete har varit ett centralt område de senaste månaderna och har hjälpt oss precisera nätverkets fortsatta arbete. En klassisk definition av antikens Euklides är att se proportionalitet som ”en förändringsfaktor” inom en och samma enhet. Tänk dig nu följande matematiska problem:

En ostbit väger 450 g och kostar 36 kr. En annan ostbit väger 750 g och kostar 45 kr. Vilken har lägst jämförpris?

Euklides skulle lösa detta problem genom att resonera så här: ”Mellan vikterna är det en förändringsfaktor 450 ⁄ 740=0,6. Då skulle den mindre osten kosta 45 ∙ 0,6=27 kr. Det betyder att om man av den större osten köper en lika stor viktmängd som den mindre osten, så skulle man behöva betala mindre.” Idag är det vanligare att istället beräkna ett jämförpris att jämföra och lösningen kan bli så här: ”Den mindre osten har jämförpriset 36kr ⁄ 0,450kg = 80 kr ⁄ kg och den större osten har jämförpriset 45kr ⁄ 0,750kg = 60 kr ⁄ kg. Alltså har den stora osten lägre jämförpris”.

Notera att Euklides förändringsfaktor är en kvot av samma enheter, alltså av samma typ som skala och procentsats, vilka saknar enhet. Det var faktiskt bara några enstaka hundra år sedan en helt annan syn på begreppet proportionalitet uppstod. Man kan dividera olika enheter med varandra och få en helt ny enhet. Exempelvis ger kvoten 36kr ⁄ 0,450kg = 80 kr ⁄ kg och i grundskolans nya kursplan för matematik kallas detta ”härledda enheter”. Detta ger oss i matematiknätverket ett sätt att kategorisera framställning av proportionalitet som Euklidisk eller icke-Euklidisk.

Även om denna kategorisering i Euklidisk/icke-Euklidisk proportionalitet är historiskt central i matematiken, så är den lite för grov då våra kategorier av elevlösningar blir för stora för att fånga exempelvis varianter av olika elevlösningar inom en och samma kategori. En som åtgärdade detta ämnesdidaktiska behov var Vergnaud, som skapade en ganska utförlig kategorisering för olika sätt att räkna ut proportionalitetsproblem. Ett mycket stort antal forskningsartiklar har låtit sig inspireras av Vergnaud när de analyserar elevers arbete och lärares undervisning om proportionalitet. Vergnauds kategorier utformades för proportionalitetsövningar av typen ”efterfrågat värde”. Ett exempel är ”450 g av en sorts ost kostar 36 kr. Vad kostar 550 g av samma ost?”.

I vårt nätverk vill vi även studera jämförpriser och då vill man ha värdet 1 i nämnaren, exempelvis 1 kg vid jämförpris och 1h vid enheten km/h. För denna typ av matematiska proportionaliteter blir det ofta svårt att avgöra i vilken av Vergnauds kategorier som elevlösningen platsar bäst. I matematiknätverket har vi därför börjat utforska Chevallards praxeologi som för vårt nätverk öppnar två möjligheter. En möjlighet är en större frihet att skapa kategorier för elevers olika strategier vid problemlösning. Detta ger möjligheten att formulera lämpliga kategorier men samtidigt behöver det inte per automatik vara en fördel eftersom denna flora kan bli vildvuxen. En annan och intressant möjlighet är att praxeologin ger stöd i att utvärdera om och vilken sorts motivering eleven ger till sin lösning, exempelvis om det endast finns ett svar eller även en uträkning och ifall uträkningen dessutom är tydligt motiverad och på vilka olika sätt den motiveras.

Våra första trevande försök att använda Chevallards praxeologi har visat sig fungera genom att ge oss nya intressanta infallsvinklar på elevers och vårt eget (lärares) matematiska arbete. Vi får just nu nöja oss med att konstatera att forskning pågår och att vi återkommer när vi vet mer. Kanske redan på vårt föredrag på matematikbiennalen 31 mars – 1 april i år.

/ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken – genom nätverksledare Jöran Petersson.

Chevallard, Y. (2007). Readjusting didactics to a changing epistemology. European Educational Research Journal, 6(2), 131-134. https://doi.org/10.2304/eerj.2007.6.2.131

Euclide, & Heath, T.L. (1956). The thirteen books of Euclid’s Elements. (2nd Ed., rev. with additions). Dover.

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh and M. Landau (eds.), Acquisition of Mathematical Concepts and Processes (pp. 127–174). Academic Press.

September 2021 är här och vi kan nu glädjas åt minst två saker. Det ena är att vi har nått långt mot målen för våra första ULF-avtal och det andra är att ULF-avtalen för de didaktiska nätverken mellan Mau och ett flertal skolhuvudmän förlängts.

För ULF-nätverket Proportionella resonemang i matematik var målen i föregående ULF-avtal (ht2019-vt2021) att nätverket skulle resultera i minst ett utbildningsvetenskapligt forskningskonferensbidrag och ett konferensbidrag till en praktikorienterad konferens. Vi kan konstatera att vi uppfyllt detta genom att presentera bidrag dels vid Lärarnas Skolutvecklingskonferens 2021 i Helsingborg och dels vid forskarkonferensen NoFa8 (Nordisk Fackdidaktik) i Bergen 2021. Som titlarna anger, så beskriver det ena bidraget hur vi organiserade arbetet och det andra några av de FoU-resultat vi uppnådde. Läs gärna!

• Elvstam, M.-C., Zaboli, G., Petersson, J., Rosenberg, A., Schoug, A., Dima, D., … Munther, O. (2021). Att organisera praktiknära skolforskning som ömsesidigt samarbete lärosäte-skolor. Presenterad vid Lärarnas skolutvecklingskonferens, 16 April 2021. Kan hämtas på: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:mau:diva-41913
• Petersson, J., Conde, R., Dahl, J., Jakobsson, M., Andersson, P., Beben, M., … Zaboli, G. (2021). Teaching dimensional analysis in secondary school mathematics. Abstract Book nofa8. Presenterad vid NOFA8 – The 8th Nordic Conference on Subject Education. Kan hämtas på: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:mau:diva-42250

Ska man vara efterklok, så hade vi ambitionen att ägna oss åt forskning, skolutveckling och lärarutbildning. Tanken med den tredje av dessa ambitioner – lärarutbildning – var i vårt fall att kunna samordna ULF-nätverkets aktiviteter med studenternas VFU och examensarbeten, men detta lyckades vi tyvärr inte få till av olika anledningar.

Vi gläds även åt att ULF-avtalet för vårt nätverk har förlängts till perioden ht2021-vt2023 och dessutom med lärare från Lunds kommun som nya deltagare utöver lärare från de tidigare deltagande kommunerna Helsingborg, Lomma och Vellinge. Den utvecklingsmässiga ambitionen som vi överenskommit i avtalet är ett gemensamt lärande och kunskapsspridning inom våra respektive verksamheter när det gäller undervisning och lärande om proportionella resonemang i matematik. Det forskningsmässiga målet är att vi åstadkommer “minst en publikation, vetenskaplig eller populärvetenskaplig”. Vi är övertygade om att vi kommer att uppfylla detta mål med råge. Bland annat har Jöran under sommaren 2021 författat och skickat in en artikel till en forskningstidskrift och ett bidrag till matematikbiennalen 2022 vid Linnéuniversitetet.

Vårt första nätverksmöte med deltagande lärare blir i mitten av september 2021 då vi ser fram emot att träffa både nytillkomna lärare i nätverket och alla de som fortsätter.

/Jöran Petersson. Nätverksledare för ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken.

Under sommaren har det för min del blivit det ganska gott om tillfällen att analysera insamlade data från ULF-nätverket om proportionella resonemang i matematik. Tillsammans med en extern medförfattare, Rosie Conde, författar jag nu en tidskriftsartikel om vad analysen ger. Vi hoppas kunna skicka artikeln till en vetenskaplig tidskrift redan i år. Sedan startar, som för all vetenskaplig publicering, en ofta långdragen granskningsprocess av artikeln innan den accepteras och kan publiceras. Artikelns resultat ger nätverket underlag för att utveckla en undervisningsmodell, vilket nätverket just har inlett ht20 med.

Nu är det nytt läsår och som nätverkssamordnare är det förstås lite pirrigt med hur många som kan fortsätta sitt deltagande efter sommaren. Det är faktiskt idel goda nyheter. En blir föräldraledig, men vill delta ändå. Två har bytt jobb & ny kommun men har av sina nya skolledare utverkat tillstånd att fortsätta delta. Det är härligt med sådana driftiga medarbetare. Även en nyanställd förefaller vara på väg in. Vi hade den 8 september höstens första nätverksmöte i form av videokonferens. Vi ägnade ju första läsåret (19/20) åt att undersöka elevernas kunskaper och begreppsuppfattningar på särskilt utvalda och ändamålsenligt formulerade övningar om proportionalitet. Med dessa lärdomar är vi därför nu redo att fråga oss själva: Hur kan vi utveckla vår egen undervisning om proportionalitet? Vi ägnade mötet åt att komma med idéer om detta och hur vi kan dokumentera vår egen undervisning i syfte att beforska den. Vi vill nu pröva den i praktiken. Jag ber att få återkomma senare i höst och berätta om kommande pilotdata från en undervisningsmodell. 

/Jöran Petersson, nätverksledare MaU

I ULF-projektet kring proportionella resonemang i matematik har deltagarna, inför de tre första mötena, samlat in och delat med sig av en hel del data i form av elevlösningar på diverse matematikuppgifter, som lärarna delvis har författat själva. Under de tre första mötena läsåret 19/20 har alla deltagare försökt identifiera olika styrkor och svagheter hos elevers lösningar på diverse matematiska problem om proportionalitet. Nu har projektet kommit till nästa fas, som är att skapa och pröva ut en taxonomi för att beskriva och kategorisera olika typer av lösningsstrategier i elevlösningarna. Denna förberedelseuppgift skickade vi ut den 10 mars till projektets fjärde planerade möte den 28 april. Deltagarna kunde välja mellan att kategorisera redan insamlade elevlösningar eller pröva dem på nya elevlösningar.

Därefter har det varit ovanligt lugnt i eposten från våra deltagare i ULF-projektet och det finns väl ingen annan rimlig förklaring än Covid-19. Min egen erfarenhet är att alla dessa nyttiga en-minuters samtal i korridoren löser många små problem. Under Covid-19-pandemin, så gör den nya situationen denna typ av små problem ännu mer frekventa. Samtidigt finns inte samma möjlighet till snabba ordväxlingar för att lika snabbt lösa problemen. Istället tar dessa konversationer flera timmar, ja kanske ett par dagar, innan eposten har gått sina vändor. Resultatet blir att många samtal sträcks ut i tid och samtidigt pågår parallellt med andra samtal. Det är förstås frustrerande att under så lång tid hålla så många samtal aktuella och det förklarar säkert att samma arbetsuppgifter tar längre tid och ork än vanligt.

Hur som helst, tre av projektets drygt 10 deltagande lärare har skickat in kategoriserade elevlösningar. Vi som samordnar detta ULF-projekt funderade förstås hur vi ska hantera denna situation, när omständigheterna gör att deltagarna inte hinner delta aktivt i projektet. Hur kan vi ta omhand det som faktiskt blivit gjort, med respekt för de som i rådande situation inte haft möjlighet? Men, bland matematikdidaktiker och matematiker så betyder ordet problem inte oönskade svårigheter utan betyder istället ett tillfälle till utmanande intellektuell träning.

Bland de tre inskickade svaren, så fanns dels en lagom stor mängd med föredömligt avidentifierade elevlösningar. Dessutom redovisade en person resultaten i ett kalkylblad på ett sätt som är extra lätt att både fylla i och att följa upp. Vi kläckte därför idén att skicka ut dessa pseudonymiserade elevlösningar tillsammans med en tom mall och be alla deltagare kategorisera samma elevlösningar. Den färdiga mallen gör att inga fler deltagare behöver fundera över hur resultatet ska redovisas. Det blir en tydligt avgränsad projektuppgift, som vi hoppas att deltagarna kan hinna med, trots pandemisituationen. Att alla deltagare kategoriserar samma elevlösningar blir till en fördel för projektet, nämligen att pröva hur entydig taxonomin för kategoriseringen är. Med andra ord, att undersöka analysinstrumentets reliabilitet. Därmed hoppas vi få underlag för en forskningsartikel i detta ULF-projekt. Samtidigt håller vi vårt gemensamma ULF-projekt mellan universitet och skola vid liv tills vi träffas nästa gång.

/Jöran Petersson. Nätverksledare för ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken.

Jag vill bara säga att jag ÄLSKAR detta. Idag har mina elever fått diskutera olika lösningar på uppgiften om kiwifrukter [att bestämma pris/kg] där de i grupp skulle komma överens vilken metod är mest effektiv. Det var inte alla som kom fram till den metoden vi ville att de skulle komma fram till. Detta har skapat bra diskussioner där vi har fastnat på vikten av att förstå frågan och använda sig av enheter! Riktigt kul var det. Jag har berättat att det inte är mycket, som man behöver komma ihåg; det viktigaste är att förstå det man ska göra. En elev gav en mycket värmande kommentar att han just denna termin upplever att han har lärt sig mycket mer än på länge. Så ska det vara!

Efter lovet tänker jag att eleverna får flera uppgifter att lösa på liknande sätt och därefter kommer uppgiften om dominobrickor [att bestämma dels brickor per tid och dels tid per bricka] eftersom många tyckte att den var svår – med syftet att se om det bli enklare för dem att lösa den när de har tränat på att förstå frågan. Nu längtar jag bara till att vi arbetar vidare med detta efter lovet! Älskar förändringar som leder till utveckling hos både mig och eleverna!

Magdalena Beben, medverkande högstadielärare i Helsingborg  

Det var med stor glädje, som vi, precis innan sommarledigheten 2019, fick reda på att vårt förlag till ULF-projekt hade beviljats medel från Mau. Då ämnesdidaktisk forskning beskriver proportionella resonemang i skolmatematiken som dels komplicerat och dels något som finns med från förskola till högskola, så föreslog vi att arbeta med en nisch i detta stora område.

Hannu Markkula (professor i matematikdidaktik i Helsingfors) beskriver motivation, kognition och emotion som tre påverkansfaktorer på matematiklärande. Det finns mycket igenkänning i det, och jag ser att detta även verkar gälla oss som deltar i projektet. Den kognitiva aspekten är att läsa in sig på tidigare forskning och klura ut hur studien ska genomföras. Den motiverande aspekten är att framställa ansökan som relevant för såväl dem som beviljar ansökan som för dem som vill delta i projektet. Den emotionella aspekten är dels att brottas med strul och dels att glädjas med deltagarna när allt flyter på.

Direkt efter sommarledigheten hade lärarna i Mau-delen av projektet ett planeringsmöte och ytterligare några veckor senare hade Malmö universitet ett informationsmöte med skolledare från deltagande kommuner. Nästa steg var för oss att möta de deltagande lärarna. I oktober möttes fyra lärare från Malmö universitet och de ca femton lärare från skolor i Helsingborg, Lomma, Svedala och Vellinge som medverkar. Till det första mötet hade alla förberett sig med att läsa två artiklar i Nämnaren och några sidor i en avhandling. I mötet gick vi igenom det juridiska avtalet om ömsesidigt samarbete, som ULF-projektets anda innebär. Därefter presenterade vi projektet som ett ämnesdidaktiskt utvecklings- och forskningsprojekt och diskuterade tillsammans med lärarna hur vi ömsesidigt kan arbeta med detta. Till nästa möte i december kommer lärarna att försöka dokumentera elevlösningar på några matematikproblem så att vi kan använda dessa som diskussionsunderlag för hur vi kan utveckla matematikundervisningen vad det gäller projektets nisch inom proportionella resonemang. Vi ser nu fram emot projektets andra möte, som blir i december.

Jöran Petersson, lektor på Lärande och samhälle