Sedan höstterminen 2019 ingår lärare från lärarutbildningen vid Malmö universitet och lärare från skolor i Helsingborg, Lomma, Svedala och Vellinge i ett ULF-nätverk med särskilt fokus på matematikdidaktik och i synnerhet proportionella resonemang i matematik. Sedan 2021 medverkar även några lärare från Lunds kommun.
Detta blogg-inlägg sammanfattar matematiknätverkets arbete hittills med matematikdidaktiska teorier som kan passa för proportionalitet. Detta arbete har varit ett centralt område de senaste månaderna och har hjälpt oss precisera nätverkets fortsatta arbete. En klassisk definition av antikens Euklides är att se proportionalitet som ”en förändringsfaktor” inom en och samma enhet. Tänk dig nu följande matematiska problem:
En ostbit väger 450 g och kostar 36 kr. En annan ostbit väger 750 g och kostar 45 kr. Vilken har lägst jämförpris?
Euklides skulle lösa detta problem genom att resonera så här: ”Mellan vikterna är det en förändringsfaktor 450 ⁄ 740=0,6. Då skulle den mindre osten kosta 45 ∙ 0,6=27 kr. Det betyder att om man av den större osten köper en lika stor viktmängd som den mindre osten, så skulle man behöva betala mindre.” Idag är det vanligare att istället beräkna ett jämförpris att jämföra och lösningen kan bli så här: ”Den mindre osten har jämförpriset 36kr ⁄ 0,450kg = 80 kr ⁄ kg och den större osten har jämförpriset 45kr ⁄ 0,750kg = 60 kr ⁄ kg. Alltså har den stora osten lägre jämförpris”.
Notera att Euklides förändringsfaktor är en kvot av samma enheter, alltså av samma typ som skala och procentsats, vilka saknar enhet. Det var faktiskt bara några enstaka hundra år sedan en helt annan syn på begreppet proportionalitet uppstod. Man kan dividera olika enheter med varandra och få en helt ny enhet. Exempelvis ger kvoten 36kr ⁄ 0,450kg = 80 kr ⁄ kg och i grundskolans nya kursplan för matematik kallas detta ”härledda enheter”. Detta ger oss i matematiknätverket ett sätt att kategorisera framställning av proportionalitet som Euklidisk eller icke-Euklidisk.
Även om denna kategorisering i Euklidisk/icke-Euklidisk proportionalitet är historiskt central i matematiken, så är den lite för grov då våra kategorier av elevlösningar blir för stora för att fånga exempelvis varianter av olika elevlösningar inom en och samma kategori. En som åtgärdade detta ämnesdidaktiska behov var Vergnaud, som skapade en ganska utförlig kategorisering för olika sätt att räkna ut proportionalitetsproblem. Ett mycket stort antal forskningsartiklar har låtit sig inspireras av Vergnaud när de analyserar elevers arbete och lärares undervisning om proportionalitet. Vergnauds kategorier utformades för proportionalitetsövningar av typen ”efterfrågat värde”. Ett exempel är ”450 g av en sorts ost kostar 36 kr. Vad kostar 550 g av samma ost?”.
I vårt nätverk vill vi även studera jämförpriser och då vill man ha värdet 1 i nämnaren, exempelvis 1 kg vid jämförpris och 1h vid enheten km/h. För denna typ av matematiska proportionaliteter blir det ofta svårt att avgöra i vilken av Vergnauds kategorier som elevlösningen platsar bäst. I matematiknätverket har vi därför börjat utforska Chevallards praxeologi som för vårt nätverk öppnar två möjligheter. En möjlighet är en större frihet att skapa kategorier för elevers olika strategier vid problemlösning. Detta ger möjligheten att formulera lämpliga kategorier men samtidigt behöver det inte per automatik vara en fördel eftersom denna flora kan bli vildvuxen. En annan och intressant möjlighet är att praxeologin ger stöd i att utvärdera om och vilken sorts motivering eleven ger till sin lösning, exempelvis om det endast finns ett svar eller även en uträkning och ifall uträkningen dessutom är tydligt motiverad och på vilka olika sätt den motiveras.
Våra första trevande försök att använda Chevallards praxeologi har visat sig fungera genom att ge oss nya intressanta infallsvinklar på elevers och vårt eget (lärares) matematiska arbete. Vi får just nu nöja oss med att konstatera att forskning pågår och att vi återkommer när vi vet mer. Kanske redan på vårt föredrag på matematikbiennalen 31 mars – 1 april i år.
/ULF-nätverket vid Malmö universitet om proportionalitet i matematiken – genom nätverksledare Jöran Petersson.
Chevallard, Y. (2007). Readjusting didactics to a changing epistemology. European Educational Research Journal, 6(2), 131-134. https://doi.org/10.2304/eerj.2007.6.2.131
Euclide, & Heath, T.L. (1956). The thirteen books of Euclid’s Elements. (2nd Ed., rev. with additions). Dover.
Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh and M. Landau (eds.), Acquisition of Mathematical Concepts and Processes (pp. 127–174). Academic Press.